Aplicaciones en la vida cotidiana

Las ecuaciones cuadráticas tienen una variedad de aplicaciones en la física, la ingeniería y el diseño. Dos características de la ecuación cuadrática que la hacen adecuada para aplicarse en el mundo real son...

El que su gráfica tiene una forma parabólica, que es el camino recorrido por un proyectil en vuelo, y que su término más alto sea x^2, que la hace muy ventajosa para calcular áreas bidimensionales. Como otros polinomios, las ecuaciones cuadráticas se utilizan también con frecuencia en el campo de los modelos matemáticos.

Las funciones cuadráticas modelan gran parte de situaciones del mundo físico. Se demostrara algunos ejemplos: 

• Altura de un puente:

El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. 

Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Solución:

Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.

Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 42002=2100 pies del centro.

Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura de abajo.

La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como:

y=ax2, a>0.

Observe que los puntos (−2100,526) y (2100,526) están en la gráfica parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de a en y=ax2: 

y=ax2  526=a(2100)2  a=526(2100)2

Así, la ecuación de la parábola es:

y=526(2100)2x2

 La altura del cable cuando x=1000 es:

y=526(2100)2(1000)2≈119.3pies

Por tanto, el cable mide 119.3 pies de altura cuando se está a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

• Campo laboral:

En el campo laboral tiene utilidad, como por ejemplo en química, cinética química para describir la variación en la concentración de reactantes respecto a la concentración de productos en un determinado tiempo; en física para el movimiento parabólico. En el ámbito militar lo usan en artillería de cañones para hallar las trayectorias de las balas. En economía usan las ecuaciones cuadráticas para representar modelos económicos de oferta y demanda para producir gráficas, este tipo de modelos se asemeja más a la realidad en comparación del modelo que usa las ecuaciones de primer grado. Las ecuaciones cuadráticas son realmente útiles porque nos ayudan en distintas objetivos, depende de la profesión que una persona ejerza, Si una persona no sabe resolverlas no estará en la posibilidad de aprender temas superiores debido a que son la base de las matemáticas. Además ayudan a los economistas para tener una orientación de la situación económica de un mercado. 

• Tiro parabólico:

En física, las ecuaciones cuadráticas calculan la trayectoria de un proyectil en vuelo. La aceleración debida a la gravedad de un proyectil es la fuerza constante g (aproximadamente 9,8 newtons), así que la ecuación para el desplazamiento vertical de un proyectil en el tiempo es y = - gt^2, donde t es la cantidad de tiempo que el proyectil ha estado en el aire. Más a menudo, la fórmula para el desplazamiento de objetos con una aceleración constante es y = vt + at^2, donde v es la velocidad inicial y a es la aceleración.

• Calcular un área:

Las ecuaciones cuadráticas se utilizan para calcular el área de figuras geométricas como rectángulos, círculos y triángulos. Los carpinteros y otros profesionales utilizan ecuaciones cuadráticas para optimizar el área de un espacio con perímetro o dimensiones determinados. 

1. Por ejemplo, un terrateniente es dueño de una parcela de tierra que tiene la forma de un trapecio. 

    El lado sur, limitado por una carretera, tiene un ancho de 150pies     (45 metros). Los lados Este y Oeste son perpendiculares a la             carretera y tienen una longitud de 320 pies (96 metros) en el lado     Oeste y 350 pies (105 metros) en el lado Este. 

   Un vecino se ofrece a comprar al propietario de la tierra una            franja en el lado Oeste para que pueda ampliar su propiedad.            ¿Qué ancho de franja de tierra puede el terrateniente vender y          todavía tener un tamaño de lote mínimo de 40.000 pies                      cuadrados? 

   El área de un trapecio es: A = W * (L1 + L2)/2

   Donde:

-  W es el ancho

- L1 y L2 son las longitudes de los lados largos y cortos.

   La propiedad tiene una superficie actual de A1:

150 * (320 + 350) / 2 = 50.250 p.c. 

   Así es que se puede reducir la propiedad por:

50.250 - 40.000 = 10.250 p.c. 

   El nuevo ancho será de:

150 - x.

   La nueva profundidad de la zona Oeste será: 

L2 = 350 - y

   Se puede definir y observar la pendiente del triángulo donde 

           - La altura es: 350 - 320 = 30 pies (9 metros)

           - El ancho es de 150 pies (45 metros). 

   Luego, la altura varía de acuerdo a x con la proporción 

y = x (30/150).

   La longitud entera de la nueva línea de la propiedad Oeste es            entonces:

L2 = 350 - x(30/150)

   Se calculará un área trapezoidal de modo que:

         - Ancho = x

         - La longitud de un lado sea L1 = 350 pies (105 metros)

         - La longitud del otro lado sea L2

   Coloca los valores conocidos en la ecuación para el área de:

W(L1+L2)/2:

x[350 + 350 - x(30/150)] / 2 = 10.250

   Se simplifica a:

-x^2/5 + 700x - 20,500 = 0 x^2 - 3500x + 102500 = 0

   Esta cuadrática tiene una solución válida en:

x = 29,53 pies (885,9 cm)

   Es el ancho de las tierras del terrateniente que puede vender y          todavía tener 40.000 pies cuadrados restantes.

• Modelos de aproximación:

Los polinomios son el tipo más común de ecuación utilizada para hacer modelos, es decir, usar ecuaciones conocidas para aproximar una ecuación con base en los datos. Por ejemplo, datos como los ingresos por publicidad o el crecimiento bacteriano se puede aproximar mediante ecuaciones cuadráticas de la forma y = Ax^2 + Bx + C al adecuar A, B y C para ajustar la ecuación lo más cerca posible a los datos. Estas ecuaciones pueden utilizarse luego para hacer predicciones sobre los resultados futuros.

• Cálculo de proporciones:

Ecuaciones cuadráticas también se aplican en los cálculos de proporciones simultáneas. Por ejemplo, si dos impresoras trabajando juntas pueden imprimir un documento de seis páginas en dos horas, y la segunda impresora trabajando sola tardaría una hora adicional paraimprimir el documento, la ecuación para determinar la cantidad de páginas por hora de cada impresora es (6 páginas / t horas)(2 hours) + (6 páginas / (t + 1 hora)) (2 horas) = 6 páginas. Para resolver esto para t, debes convertir la ecuación en una ecuación cuadrática: 12t + 6 = 3t^2 + 3t.